Задачка со вступительного экзамена№ 1
Автор: Willy
Дата : 20-10-02, Вск, 07:28:48

Вспоминали вчера с друзьями студенческие годы и припомнилась задачка с приемных экзаменов:

Решить уравнение

(1/16)^x = log(1/16)(x), имеется ввиду логарифм по основанию 1/16 от x в правой части уравнения. ^ означает степень.
Профиль 

Задачка со вступительного экзамена№ 2
Автор: Паша
Дата : 21-10-02, Пнд, 10:32:38

Очевидно, что у этого уравнения три корня. 1/4, 1/2 и некое иррациональное число между ними. Первое ощущение, что это число так просто не выписать...
Профиль 

Задачка со вступительного экзамена№ 3
Автор: Большой Грызь
Дата : 21-10-02, Пнд, 10:45:44

Первых два интуитивно находятся, но общую форумулу не нашел (а вот с иррациональным числом - интересно..)
------------------------------------
Exegi monumentum...
Профиль 

Задачка со вступительного экзамена№ 4
Автор: Паша
Дата : 21-10-02, Пнд, 10:49:46

Видимо тут требуется намёк..,
Вилли, это число можно точно выписать?
Профиль 

Задачка со вступительного экзамена№ 5
Автор: Willy
Дата : 21-10-02, Пнд, 12:57:43

Нет третье число не выпишешь, что меня поразило в свое время, так это то, что обычно обратные функции пересекаются на биссектриссе первого координатного угла, а в данном случае это не так, пересечение в трех точках, ну а третий корень можно найти лишь численно, и он является решением уравнения 1/16^x=x
Профиль 

Задачка со вступительного экзамена№ 6
Автор: Паша
Дата : 21-10-02, Пнд, 13:15:24

Так что же ты, хххх, даёшь задачки у которых нет решения. Так и спросил бы, сколько есть решений.
Кстати, это на каком же вступительном экзамене тебе дали задачу без конкретного решения? И что они ожидали услышать в ответ?
Профиль 

Задачка со вступительного экзамена№ 7
Автор: Willy
Дата : 22-10-02, Втр, 03:48:30

Паша, да это же устный экзамен, а не олимпиада, достаточно было угадать два корня и сказать, что есть третий, ее не мне давали, а вуз кажется МГУ.
Профиль 

Задачка со вступительного экзамена№ 8
Автор: Паша
Дата : 22-10-02, Втр, 04:08:57

А доказать, что нет четвёртого, пятого и т. д. не надо было? Совсем ведь это не просто, до третьих производных надо добираться...
Профиль 

Задачка со вступительного экзамена№ 9
Автор: Большой Грызь
Дата : 22-10-02, Втр, 08:19:50

Паша, я тут немного с этой функцией поигрался.. Ибо простого решения не нашел.
Точнее не с этой функцией, а с той, что получается после раскрытия логарифма:

          X   
    (1/16)
(1/16)         = X

Обозначим левую часть, как f1(x), а правую, как f2(x).
Для начала определил область поиска решений: f1(x) положительна и ее значение меньше 1 во всех точках. По сути функция имеет две асимптоты - в минус бесконечности она стремиться к y=0, а в плюс бесконечности - к y=1. Это легко доказуемо и я опускаю это доказательство. Главное это то, что решение нужно искать в диапазоне [0..1]. Далее несложно заметить, что функция возрастающая и непрерывная. Первое совсем легко доказывается, второе - с помощью производной, которая определена в любой точке в общем и в любой точке выбранного диапазона в частности (что и является доказательством непрерывности). Далее можно увидеть, что:
   f1(0) > 0 = f2(0)
   f1(1) < 1 = f2(1)
То есть это уже дает то, что графики f1 и f2 пересекаются. Если взять вторую производную, то можно увидеть, что график имеет два "изгиба", что дает максимум три пересечения в диапазоне [0..1] с f2 (то есть иными словами, максимум три решения).
Но всё вышенаписанное - это просто анализ функции, а красивого решения, увы, не вижу.
------------------------------------
Exegi monumentum...

[ 22-10-02, Tue, 14:47:24 Отредактировано: Большой Грызь ]
Профиль 


Вы не зарегистрированы либо не вошли в портал!!!
Регистрация или вход в портал - в главном меню.



 Просмотров:   003857    Постингов:   000009